摘要：已知:抛物线与x轴的一个交点为A． (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标, (2)D是抛物线与y轴的交点.C是抛物线上的一点.且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式, (3)E是第二象限内到x轴.y轴的距离的比为5∶2的点.如果点E在(2)中的抛物线上.且它与点A在此抛物线对称轴的同侧.问:在抛物线的对称轴上是否存在点P.使△APE的周长最小?若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由． 解法一: (1)依题意.抛物线的对称轴为x＝-2． ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A. ∴ 由抛物线的对称性.可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为． (2)∵ 抛物线与x轴的一个交点为A. ∴ ．∴ t＝3a．∴ ． ∴ D．∴ 梯形ABCD中.AB∥CD.且点C在抛物线 上. ∵ C．∴ AB＝2.CD＝4． ∵ 梯形ABCD的面积为9.∴ ．∴ ． ∴ a±1． ∴ 所求抛物线的解析式为或． (3)设点E坐标为(.).依题意... 且．∴ ． ①设点E在抛物线上. ∴． 解方程组 得 ∵ 点E与点A在对称轴x＝-2的同侧.∴ 点E坐标为(.)． 设在抛物线的对称轴x＝-2上存在一点P.使△APE的周长最小． ∵ AE长为定值.∴ 要使△APE的周长最小.只须PA+PE最小． ∴ 点A关于对称轴x＝-2的对称点是B. ∴ 由几何知识可知.P是直线BE与对称轴x＝-2的交点． 设过点E.B的直线的解析式为. ∴ 解得 ∴ 直线BE的解析式为．∴ 把x＝-2代入上式.得． ∴ 点P坐标为(-2.)． ②设点E在抛物线上.∴ ． 解方程组 消去.得． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上.在抛物线的对称轴上存在点P(-2.).使△APE的周长最小． 解法二: (1)∵ 抛物线与x轴的一个交点为A. ∴ ．∴ t＝3a．∴ ． 令 y＝0.即．解得 .． ∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为． (2)由.得D． ∵ 梯形ABCD中.AB∥CD.且点C在抛物线 上. ∴ C．∴ AB＝2.CD＝4． ∵ 梯形ABCD的面积为9.∴ ．解得OD＝3． ∴ ．∴ a±1． ∴ 所求抛物线的解析式为或． (3)同解法一得.P是直线BE与对称轴x＝-2的交点． ∴ 如图.过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F． 由PF∥EQ.可得．∴ ．∴ ． ∴ 点P坐标为(-2.)． 以下同解法一．

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