摘要：[例1]:一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数.求此数. 解:设此自然数为x.依题意可得 x-45=m^2................(1) x+44=n^2................ 可得 n^2-m^2=89, =89 但89为质数.它的正因子只能是1与89.于是.解之.得n=45.代入(2)得.故所求的自然数是1981. [例2]:求证:四个连续的整数的积加上1.等于一个奇数的平方. 分析:设四个连续的整数为n,.其中n为整数.欲证 n+1是一奇数的平方.只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可. 证明:设这四个整数之积加上1为m.则 m=n+1=+]^2 而n(n+1)是两个连续整数的积.所以是偶数,又因为2n+1是奇数.因而n(n+1)+2n+1是奇数.这就证明了m是一个奇数的平方. [例3]:求证:11,111,1111,......,111...1这串数中没有完全平方数. 分析:形如111...1的数若是完全平方数.必是末位为1或9的数的平方.即 111...1^2 或 111...1^2 在两端同时减去1之后即可推出矛盾. 证明:若111...1^2=100a^2+20a+1.则

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