（2013•顺义区一模）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．
问题：如图2，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．

（2012•西城区模拟）我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样．但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．
要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明．如果没有，请举出反例．