题目内容
（2013•顺义区一模）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．
问题：如图2，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．
小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．
问题：如图2，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．
分析：连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，则HF是△ABD的中位线，HE是△BDC的中位线，从而判断HE=HF，从而得出∠1=∠2，判断△AGF为等边三角形，求出∠FGD=∠FDG=30°后即可得出结论．
解答：解：判断△AGD是直角三角形．
证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=
AB，
∴∠1=∠3，
同理，HE∥CD，HE=
CD，
∴∠2=∠EFC，
∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠1=∠2，
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF为等边三角形，
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°，
∴∠AGD=90°，
即△AGD是直角三角形．
证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=
| 1 |
| 2 |
∴∠1=∠3，
同理，HE∥CD，HE=
| 1 |
| 2 |
∴∠2=∠EFC，
∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠1=∠2，
∵∠EFC=60°，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF为等边三角形，
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°，
∴∠AGD=90°，
即△AGD是直角三角形．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．
练习册系列答案
培优好卷单元加期末卷系列答案
相关题目
（2013•顺义区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，且经过B（1，0），C（5，8）两点，点D是抛物线顶点，E是对称轴与直线AC的交点，F与E关于点D对称．