(ii)假设时不等式成立.即.则当n=k+1时.——青夏教育精英家教网——

摘要：(ii)假设时不等式成立.即.则当n=k+1时.

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（2012•资阳三模）设数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹数列{b_n}满足bn=log₂

，其中n∈N^*．
（I）求数列{a_n}通项公式；
（II）求使不等式（1+

对任意正整数n都成立的最大实数m的值；
（III）当n∈N^*时，求证

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（2013•宁德模拟）岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10

海里的速度前往拦截．
（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？
（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．

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（2012•许昌二模）设a≥0，函数f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g(x)=2-a-x-

．
（ I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（ II）假设存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范围．

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某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm²）如下表：

品种甲	403	397	390	404	388	400	412	406
品种乙	419	403	412	418	408	423	400	413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x₁，x₂，…，x_a的样本方差s²=

）²+…+（x_n-

）²]，其中

为样本平均数．查看习题详情和答案>>

已知函数，数列的项满足：，（1）试求

（2）猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明.

【解析】第一问中，利用递推关系,

,

第二问中，由（1）猜想得：然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。

解: (1) ,

, …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（数学归纳法证明）i) , ,命题成立

ii) 假设时，成立

则时，

综合i),ii) : 成立

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