摘要：[05温州]如图.在Rt△ABC中.已知AB＝BC＝CA＝4cm.AD⊥BC于D.点P.Q分 别从B.C两点同时出发.其中点P沿BC向终点C运动.速度为1cm/s,点P沿CA.AB向终点B运动.速度为2cm/s.设它们运动的时间为x(s). ⑴ 求x为何值时.PQ⊥AC, ⑵ 设△PQD的面积为y(cm2).当0＜x＜2时.求y与x的函数关系式, ⑶ 当0＜x＜2时.求证:AD平分△PQD的面积, ⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系.请写出相应位置关系的x的取值范围 [解] ⑴ ∵当Q在AB上时.显然PQ不垂直于AC. 当.由题意得:BP＝x.CQ＝2x.PC＝4-x. ∴AB＝BC＝CA＝4.∠C＝600. 若PQ⊥AC.则有∠QPC＝300.∴PC＝2CQ ∴4-x＝2×2x.∴x＝. ∴当x＝时.PQ⊥AC, ⑵ 当0＜x＜2时.P在BD上.Q在AC上.过点Q作QH⊥BC于H. ∵∠C＝600.QC＝2x.∴QH＝QC×sin600＝x ∵AB＝AC.AD⊥BC.∴BD＝CD＝BC＝2 ∴DP＝2-x.∴y＝PD·QH＝(2-x)·x＝- ⑶ 当0＜x＜2时.在Rt△QHC中.QC＝2x.∠C＝600. ∴HC＝x.∴BP＝HC ∵BD＝CD.∴DP＝DH. ∵AD⊥BC.QH⊥BC.∴AD∥QH. ∴OP＝OQ ∴S△PDO＝S△DQO. ∴AD平分△PQD的面积, ⑷ 显然.不存在x的值.使得以PQ为直径的圆与AC相离 当x＝或时.以PQ为直径的圆与AC相切. 当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时.以PQ为直径的圆与AC相交.

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