摘要：2．深入探究． 师:这些结果.是我们根据动画演示及实际生活经验获得的．那么同学们能不能把上述问题中的变化过程用数学式子来表达呢?其变化结果能用有理数来表示吗?我们若规定:水位上升记为正.水位下降记为负,几天后记为正.几天前记为负． 师:[探究问题1]按上面的规定.水位上升4cm记为“+4cm .3天后记为“+3 .那么3天后的水位变化的数学式子是什么? 生:． 师:正确!你能说一说的合理性吗? 生:水位每天上升4cm.按规定求3天后的水位应该用乘法.这样就是． 师:那么3天后的水位变化的结果呢? 生:由演示图可知.3天后的水位比今天高12cm.结果为+12cm． 师:你知道与+12的关系吗? 生:我感到“水位上升4cm.3天后的水位变化的数学式子 应该与“3天后的水位变化的结果 相等.即=+12． 师:回答得很好!这里实质上3天后的水位变化的过程与3天后的水位变化的结果应是一致的． 师:[探究问题2]按上面的规定.水位上升4cm记为“+4cm .3天前记为“-3 .那么3天前的水位变化的数学式子是什么? 生:由问题1的解决.我想是． 师:这个发现了不起!将问题1的解决方法用在同一类型的问题解决．那么3天前的水位变化的结果呢? 生:由3天前的水位比今天低12cm可知.结果为-12cm． 师:你知道与-12的关系吗? 生:相等.即=-12． [与上述探究过程相同.引导学生继续探究问题3与问题4.并结合下面图示.帮助学生理解.同时完成了下述表格.为进一步探究规律作准备] 探 究 问 题 水位变化的数学式子表达 结果表示 1．水位上升4cm记为“+4 .3天后记为“+3 .则3天后的水位变化的 = +12cm 2．水位上升4cm记为“+4 .3天前记为“-3 .则3天前的水位变化的 = -12cm 3．水位下降4㎝记为“-4 .3天后记为“+3 .则3天后的水位变化的 = -12㎝ 4．水位下降4㎝记为“-4 .3天前记为“-3 .则3天前的水位变化的 = +12cm
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探究问题：你能很快地算出19952吗？
探究准备：为了解决这个问题，我们考查个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数都可以写成10n+5，为求（10n+5）2的值（n为自然数），我们试着分析n=1，n=2，n=3…这些简单的情况，探索其规律，并归纳、猜想出结论．
探究过程：
（1）通过计算，探索规律：152=225可写成 ，252=625可写成 ，352=1225可写成 ，452=2025可写成 ，…752=5625可写成 ，852=7225可写成 ．
（2）从第（1）题的结果归纳、猜想到： ．
（3）根据上面归纳、猜想，可以算出：19952= ．
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探究准备：为了解决这个问题，我们考查个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数都可以写成10n+5，为求（10n+5）2的值（n为自然数），我们试着分析n=1，n=2，n=3…这些简单的情况，探索其规律，并归纳、猜想出结论．
探究过程：
（1）通过计算，探索规律：152=225可写成
（2）从第（1）题的结果归纳、猜想到：
（3）根据上面归纳、猜想，可以算出：19952=
7、阅读下面“平均数”一课的课堂教学片断，请你作简单评述．
师：学到这里，我们已经基本掌握了求平均数的一般方法．其实，在求平均数前，我们还可以先估算这个平均数的范围．请大家看这样一个例子：“一个小组有6个同学，他们的体重分别是32千克、30千克、35千克、30千克、33千克、32千克，这个小组的平均体重是多少千克？”
仔细想一想，这个小组同学的平均体重肯定比多少千克多，比多少千克少？
生1：比30千克多，比35千克要少．
生2：我也认为是这样的．
师：为什么呢？我们能否说出一个道理？
学生同桌或小组进行讨论．
师：谁先发言？
生：因为求6个同学的平均体重，可以看成是“以多补少”，就是要把最重的35千克移一些给最轻的30千克．所以这个平均数肯定不会比35千克多，比30千克少．
师：（带头鼓掌，学生也跟着鼓掌）说得好．请大家计算出结果，再与刚才的估算的平均数范围对照一下，是否对？
生：（学生各自计算：（32+30+35+30+33+32）÷6=32（千克））
师：好．这个结果说明我们刚才估算的结果是正确的．那么这个“32千克”与题目中的“32千克”意思一样吗？
生：不一样．题目中的“32千克”是一个同学的体重，结果中的“32千克”是6个同学的平均体重．
师：说得对！我们解答应用题，不但要会，而且要懂得解答结果的意思．
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师：学到这里，我们已经基本掌握了求平均数的一般方法．其实，在求平均数前，我们还可以先估算这个平均数的范围．请大家看这样一个例子：“一个小组有6个同学，他们的体重分别是32千克、30千克、35千克、30千克、33千克、32千克，这个小组的平均体重是多少千克？”
仔细想一想，这个小组同学的平均体重肯定比多少千克多，比多少千克少？
生1：比30千克多，比35千克要少．
生2：我也认为是这样的．
师：为什么呢？我们能否说出一个道理？
学生同桌或小组进行讨论．
师：谁先发言？
生：因为求6个同学的平均体重，可以看成是“以多补少”，就是要把最重的35千克移一些给最轻的30千克．所以这个平均数肯定不会比35千克多，比30千克少．
师：（带头鼓掌，学生也跟着鼓掌）说得好．请大家计算出结果，再与刚才的估算的平均数范围对照一下，是否对？
生：（学生各自计算：（32+30+35+30+33+32）÷6=32（千克））
师：好．这个结果说明我们刚才估算的结果是正确的．那么这个“32千克”与题目中的“32千克”意思一样吗？
生：不一样．题目中的“32千克”是一个同学的体重，结果中的“32千克”是6个同学的平均体重．
师：说得对！我们解答应用题，不但要会，而且要懂得解答结果的意思．
（2013•鼓楼区一模）问题提出：
规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．
我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．
初步思考：
在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．
深入探究：
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ一条边和四个角对应相等；Ⅱ二条边和三个角对应相等；
Ⅲ三条边和二个角对应相等；Ⅳ四条边和一个角对应相等．
（1）小明认为“Ⅰ一条边和四个角对应相等”的两个四边形不一定全等，请你举例说明．
（2）小红认为“Ⅳ四条边和一个角对应相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．
已知：如图，
求证：
证明：
（3）小刚认为还可以对“Ⅱ二条边和三个角对应相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：
①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；
②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；
③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；
④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．
其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是
（4）小亮经过思考认为也可以对“Ⅲ三条边和二个角对应相等”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个全等四边形的判定方法．
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规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．
我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．
初步思考：
在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．
深入探究：
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ一条边和四个角对应相等；Ⅱ二条边和三个角对应相等；
Ⅲ三条边和二个角对应相等；Ⅳ四条边和一个角对应相等．
（1）小明认为“Ⅰ一条边和四个角对应相等”的两个四边形不一定全等，请你举例说明．
（2）小红认为“Ⅳ四条边和一个角对应相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．
已知：如图，
四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1．
四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1．
．求证：
四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1
四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1
．证明：
（3）小刚认为还可以对“Ⅱ二条边和三个角对应相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：
①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；
②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；
③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；
④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．
其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是
①②③
①②③
（填序号），概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等
有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等
．（4）小亮经过思考认为也可以对“Ⅲ三条边和二个角对应相等”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个全等四边形的判定方法．
能使方程左右两边相等的未知数的①
求方程的解的②
等式的两条性质是④
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是⑤
（2）等式两边都乘或除以同一个⑥
方程中的某些项⑦
一般地，解一元一次方程的一般步骤：去分母、⑨
去分母和去括号时注意不能漏乘；分数线既具有除号的作用，又具有括号的作用，当分子是多项式时，去分母后，原先的括号要补上；另外，移项时特别注意要改变符号．
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值
值
，叫做方程的解．求方程的解的②
过程
过程
叫做解方程．求方程的解就是将方程变形为③x=a
x=a
的形式．等式的两条性质是④
解方程
解方程
的依据．（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是⑤
等式
等式
．（2）等式两边都乘或除以同一个⑥
不等于0
不等于0
的数，所得结果仍是等式．方程中的某些项⑦
改变符号
改变符号
后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做⑧移项
移项
．一般地，解一元一次方程的一般步骤：去分母、⑨
去括号
去括号
、移项、⑩合并同类项
合并同类项
、未知数的?系数
系数
化为1．以上步骤不是一成不变的，在解方程时要根据方程的特点灵活运用这些步骤．去分母和去括号时注意不能漏乘；分数线既具有除号的作用，又具有括号的作用，当分子是多项式时，去分母后，原先的括号要补上；另外，移项时特别注意要改变符号．
（2012•岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
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（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．