摘要：19．3 梯形(二) 教学目标 知识与技能 1. 通过探究教学.使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形 这个判定方法.及其此判定方法的证明． 2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算.体会转化的思想.数学建模的思想.会用分析法寻求证明题思路.从而进一步培养学生的分析能力和计算能力． 3．通过添加辅助线.把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题.使学生体会图形变换的方法和转化的思想． 过程与方法 经历探索梯形的判定条件的过程.发展学生合情推理能力. 情感态度与价值观 增强主动探索意识.发展合情推理思维.体会逻辑思维训练在实际问题中的价值. 重点 掌握等腰梯形的判定方法并能运用． 难点 等腰梯形判定方法的运用 教学过程 备 注 教学过程 与 师生互动 第一步:温习故知 第二步:学习新知: [提出问题]:前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么? 命题:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 问:这个命题是否成立?能否加以证明.引导学生写出已知.求证． 启发:能否转化为特殊四边形或三角形.鼓励学生大胆猜想.和求证． 已知:如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.∠B=∠C． 求证:AB=CD． 分析:我们学过“如果一个三角形中有两个角相等.那么它们所对的边相等． 因此.我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角.命题就容易证明了． 图一 证明方法一:过点D作DE∥AB交BC于点F.得到△DEC． ∵AB∥DE. ∴∠B=∠1. ∵∠B=∠C. ∴∠1=∠C． ∴DE＝DC． 又∵AD∥BC. ∴DE＝AB=DC． 证明时.可以仿照性质证明时的分析.来启发学生添加辅助线DE． 证明方法二:用常见的梯形辅助线方法:过点A作AE⊥BC. 过D作DF⊥BC.垂足分别为E.F． 图二 证明方法三:延长BA.CD相交于点E 通过证明:验证了命题的正确性.从而得到:等腰梯形判定方法 等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 几何表达式:梯形ABCD中.若∠B=∠C.则AB=DC． [注意]等腰梯形的判定方法: ① 先判定它是梯二 形. ②再用“两腰相等 “或同一底上的两个角相等 来判定它是等腰梯形． 第三步:应用举例: 例1 例2 证明:对角线相等的梯形是等腰梯形． 已知:如图.梯形ABCD中.对角线AC=BD．求证:梯形ABCD是等腰梯形． 分析:证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中.已有两边对应相等.要能证∠1=∠2.就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC． 证明:过点D作DE∥AC.交BC的延长线于点E. 又 AD∥BC.∴ 四边形ACED为平行四边形. ∴ DE=AC ． ∵ AC=BD . ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E ∵ ∠2=∠E . ∴ ∠1=∠2 又 AC=DB.BC=CE. ∴ ΔABC≌ΔDCB． ∴ AB=CD． ∴ 梯形ABCD是等腰梯形． 说明:如果AC.BD交于点O.那么由∠1=∠2可得OB=OC.OA=OD .即等腰梯形对角线相交.可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形.这个结论虽不能直接引用.但可以为以后解题提供思路． 问:能否有其他证法.引导学生作出常见辅助线.如图.作AE⊥BC.DF⊥BC.可证 RtΔABC≌RtΔCAE.得∠1=∠2． 例3 已知:如图.点E在正方形ABCD的对角线AC上.CF⊥BE交BD于G.F是垂足．求证:四边形ABGE是等腰梯形． 分析:先证明OE＝OG.从而说明∠OEG＝45°.得出EG∥AB.由AE.BG延长交于O.显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形.再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形． 例4 画一等腰梯形.使它上.下底长分别4cm.12cm.高为3cm.并计算这个等腰梯形的周长和面积． 分析:梯形的画图题常常通过分析.找出需添加的辅助线.归结为三角形或平行四边形的作图.然后.再根据它们之间的联系.画出所要求的梯形． 如图.先算出AB长.可画等腰三角形ABE.然后完成 AECD的画图． 画法:①画ΔABE.使BE=12-4=8cm． . ②延长BE到C使EC=4cm. ③分别过A.C作AD∥BC .CD∥AE.AD.CD交于点D． 四边形ABCD就是所求的等腰梯形． 解:梯形ABCD周长＝4+12+5×2＝26cm ． 答:梯形周长为26cm.面积为24． 例5:.如图4.9-4.已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm.上.下底长分别是6cm和12cm.求梯形的面积. (方法一.过点C作CE∥AD.再作等腰三角形BCE的高CF.可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解,方法二.过点C和D分别作高CF.DG.可知.从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm. ) 第四步:随堂练习 1．下列说法中正确的是( )． (A)等腰梯形两底角相等 (B)等腰梯形的一组对边相等且平行 (C)等腰梯形同一底上的两个角都等于90度 (D)等腰梯形的四个内角中不可能有直角 2．已知等腰梯形的周长25cm,上.下底分别为7cm.8cm.则腰长为 cm． 3．已知等腰梯形中的腰和上底相等.且一条对角线和一腰垂直.求这个梯形的各个角的度数． 4．已知.如图.在四边形ABCD中.AB＞DC.∠1=∠2.AC=BD.求证:四边形ABCD是等腰梯形． (略证 .AD=BC. .∴ AB∥DC) 5．已知.如图.E.F分别是梯形ABCD的两底AD.BC的中点.且EF⊥BC.求证:梯形ABCD是等腰梯形． 第五步:课后练习 1．等腰梯形一底角.上.下底分别为8.18.则它的腰长为 .高为 .面积是 ． 2．梯形两条对角线分别为15.20.高为12.则此梯形面积为 ． 3．已知:如图.在四边形ABCD中.∠B=∠C.AB与CD不平行.且AB=CD．求证:四边形ABCD是等腰梯形． 4．如图4.9-9.梯形ABCD中.AB∥CD.AD=BC.CE⊥AB于E.若AC⊥BD于G．求证:CE=． 第六步:课堂小结 等腰梯形的判定方法: 一般是先判定一个四边形是梯形.然后再用“两腰相等 或“同一底上的两个角相等 来判定它是等腰梯形．判定一个四边形是梯形时.根据梯形定义.判定另两边不平行比较困难.可以通过判定平行的两边不相等来说明． 梯形的画图:一般先画出有关的三角形.在此基础上再画出有关的平行四边形.最后得到所求图形． 课后反思 :

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