摘要：活动2 问题:[例1]判断由线段a.b.c组成的三角形是不是直角三角形． (1)a＝15.b＝8.c＝17, (2)a＝13.b＝14.c＝15, (3)求证:m2-n2.m2+n2.2mn是直角三角形的三条边长． 设计意图: 进一步让学生体会用勾股定理的逆定理.实现数和形的统一.第(3)题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数.如果能让学生熟记几组勾股数.我们在判断三角形的形状时.就可以避开很麻烦的运算． 师生行为: 先由学生独立完成.然后小组交流． 教师应巡视学生解决问题的过程.对成绩较差的同学给予指导． 在此活动中.教师应重点关注学生: ①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状. ②能否发现问题.反思后及时纠正． ③能否积极主动地与同学交流意见． 生:根据勾股定理的逆定理.判断一个三角形是不是直角三角形.只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解:(1)因为152+82＝225+64＝289. 172＝289. 所以152+82＝172.这个三角形是直角三角形． (2)因为132+142＝169+196＝365 152＝225 所以132+142≠152．这个三角形不是直角三角形． 生:要证明它们是直角三角形的三边.首先应判断这三条线段是否组成三角形.然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长． (3)证明: m＞n.m.n是正整数 (m2-n2)+(m2+n2)＝2m2＞2mn. 即(m2-n2)+(m2+n2)＞2mn 又因为(m2-n2)+2mn＝m2+n. 而2m-n＝m+(m-n)＞0. 所以(m2-n2)+2mn＞m2+n2 这三条线段能组成三角形． 又因为(m2-n2)2＝m4+n4-2m2n2 (m2+n2)2＝m4+n4+2m2n2 (2mn)2＝4m2n2. 所以(m2-n2)2+(2mn)2 ＝m4+n4-2m2n2+4m2n2 ＝m4+n4+2m2n2 ＝(m2+n2)2 所以.此三角形是直角三角形.m2-n2.2mn.m2+n2这三边是直角三角形的三边． 师:我们把像15.8.7这样.能够成为三角形三条边长的三个正整数.称为勾股数． 而且我们不难发现m2-n2.m2+n2.2mn也是一组勾股数.而且这组勾股数由于m可取值的不同会得到不同的勾股数. 例如m＝2.n＝1时.m2-n2＝22-12＝3.m2+n2＝22+12＝5.2mn＝2×2×1＝4.而3.4.5就是一组勾股数． 你还能找到不同的勾股数吗? 生:当m＝3.n＝2时.m2-n2＝32-22＝5.m2+n2＝13.2mn＝2×3×2＝12.所以5.12.13也是一组勾股数. 当m＝4.n＝2时.m2-n2＝42-22＝12.m2+n2＝20.2mn＝2×4×2＝16.所以12.16.20也是一组勾股数． -- 师:由此我们发现.勾股数组有无数个.而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法． 17世纪.法国数学家费马也研究了勾股数组的问题.并且在这个问题的启发下.想到了一个更一般的问题.1637年.他提出了数学史上的一个著名猜想--费马大定理.即当n＞2时.找不到任何的正整数组.使等式xn+yn＝zn成立.费马大定理公布以后.引起了各国优秀数学家的关注.他们围绕着这个定理顽强地探索着.试图来证明它．1995年.英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理.解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜． 活动3 问题:[例2]“远航 号.“海天 号轮船同时离开港口.各自沿一固定方向航行.“远航 号每小时航行16海里.“海天 号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航 号沿东北方向航行.能知道“海天 号沿哪个方向航行吗? 设计意图: 让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用.从而树立远大理想.更进一步体会数学的实用价值. 师生行为: 教师先鼓励学生根据题意画出图形.然后小组内交流讨沦.教师需巡视.对有困难的学生一个启示.帮助他们寻找解题的途径． 在此活动中.教师应重点关注: ①学生能否根据题意画出图形． ②学生能否积极主动地参与活动． ③学生是否充满信心解决问题． 生:我们根据题意画出图形..可以看到.由于“远航 号的航向已知.如果求出两艘轮船的航向所成的角.就能知道“海天 号的航向了． 解:根据题意画出下图 PQ＝16×1.5＝24. PR＝12×1.5＝18.QA＝30． 因为242+182＝302.即PQ2+PR2＝QR2 所以∠QPR＝90° 由“远航 号沿东北方向航行可知.∠QPS＝45°.所以∠RPS＝45°.即“海天 号沿西北或东南方向航行．

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