质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩量为X₀，如图所示．物块从钢板正对距离为3X₀的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，求：
（1）物块与钢板碰后的速度v；
（2）弹簧被压缩X₀时的弹性势能E_p；
（3）若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，物块向上运动到最高点与O点的距离．

如图所示，倾角为θ的粗糙斜面底端固定一个垂直斜面的弹性挡板P．现使物块A从挡板处以v₀=2m/s的初速度出发，沿斜面向上运动，经过1s到达最高点，然后下滑，经过2s又回到挡板处．假设物块与挡板碰撞后能量不损失以原速率反弹．试求：
（1）物块上滑时加速度大小与下滑时加速度大小之比；
（2）物块第一次被挡板反弹后，再次滑回到斜面底端所需要的时间；
（3）物块从出发到最后停止运动所通过的总路程．

如图所示，一质量为m的小球C用轻绳悬挂在O点．小球下方有一质量为2m的平板车B静止在光滑水平地面上，小球的位置比车板略高．一质量为m的物块A以大小为v₀的初速度向左滑上平板车，此时A、C间的距离为d．一段时间后，物块A与小球C发生碰撞，碰撞时两者的速度互换，且碰撞时间极短．已知物块与平板车间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，要使碰后小球能绕O点做完整的圆周运动，轻绳的长度l应满足什么条件？
（2）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，求d和v₀之间满足的关系和碰后物块与平板车最后共同的速度v．
（3）若A碰C之前物块与平板车未达共同速度，求碰后物块与平板车最后共同的速度v与v₀和d的关系．

光滑的水平面上固定有左、右两竖直挡板，挡板间距离足够长，有一质量为M，长为L的长木板靠在左侧挡板处，另有一质量为m的小物块（可视为质点），放置在长木板的左端，已知小物块与长木板间的动摩擦因数为μ，且M＞m，现使小物块和长木板以共同速度v₀向右运动，设长木板与左一右挡板的碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．
（1）将要发生第二次碰撞时，小物块与木板的共同速度多大？
（2）为使小物块最终不从长木板上落下，板长L应满足什么条件？
（3）若满足（2）中条件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．计算整个系统在刚要发生第四次碰撞前损失的机械能和此时物块距离木板最左端的长度．