摘要:1.进一步领会几何基本事实对几何证明的意义.
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勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法,所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点,再连接四点构成一个正方形,它可以验证勾股定理.在如图的弦图中,已知:正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正方形ABCD的面积=16,AE=1;则正方形EFGH的面积= .
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勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法,所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点,再连接四点构成一个正方形,它可以验证勾股定理.在如图的弦图中,已知:正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正方形ABCD的面积=16,AE=1;则正方形EFGH的面积=________.
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先自学下列材料,再解题.在不等式的研究中,有以下两个重要基本不等式:
若a≥0,b≥0,则
≥
…①
若a≥0,b≥0,c≥0,则
≥
…②
不等式①、②反映了两个(或三个)非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用.现举例如下:
若ab>0,试证明不等式:
≥
.
证明:∵ab>0
∴
=
≥
即
≥
.
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式:
(1)当ab≥0时,试证明:
≥
.
(2)当a、b为任意实数时,试证明:
≥
.
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若a≥0,b≥0,则
| a+b |
| 2 |
| ab |
若a≥0,b≥0,c≥0,则
| a+b+c |
| 3 |
| 3 | abc |
不等式①、②反映了两个(或三个)非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用.现举例如下:
若ab>0,试证明不等式:
| (a+b)2+2ab |
| 3 |
| 3 | (a+b)2a2b2 |
证明:∵ab>0
∴
| (a+b)2+2ab |
| 3 |
| (a+b)2+ab+ab |
| 3 |
| 3 | (a+b)2•ab•ab |
即
| (a+b)2+2ab |
| 3 |
| 3 | (a+b)2a2b2 |
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式:
(1)当ab≥0时,试证明:
| a2+b2+10ab |
| 12 |
| 3 |
| ||
(2)当a、b为任意实数时,试证明:
| a2+b2+ab |
| 3 |
| 3 |
| ||