题目内容
勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积=10
10
．分析：先判断△AEF≌△DHE，得出AF=DE，这样可求出AE、EF的长度，利用勾股定理可求出正方形EFGH的面积．
解答：解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=FE，∠FEH=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEH=90°，
∴∠AFE=∠DEH，
∵在△AEF和△DHE中，
，
∴△AEF≌△DHE，
∴AF=DE，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=BC=CD=DE=4，
∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，
在Rt△AEF中，EF=
=
，
故正方形EFGH的面积=
×
=10．
故答案为：10．
∴EH=FE，∠FEH=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEH=90°，
∴∠AFE=∠DEH，
∵在△AEF和△DHE中，
|
∴△AEF≌△DHE，
∴AF=DE，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=BC=CD=DE=4，
∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，
在Rt△AEF中，EF=
| AE2+AF2 |
| 10 |
故正方形EFGH的面积=
| 10 |
| 10 |
故答案为：10．
点评：本题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键在于通过全等三角形的判定得出AF=DE，求出AF的长度．
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