摘要：讨论.交流: 例1 如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.AB＝DC.AC.BD相等吗?为什么? 分析:可从等腰梯形的轴对称性说明.也可从“等腰梯形在同一底上的两个角相等 及全等的知识等多方面来说明. 解法1 AC＝BD. 如图.过两底中点M.N作直线l. ∵ M.N分别是底AD.BC的中点. ∴ 直线l是等腰梯形ABCD的对称轴. (过等腰梯形两底中点的直线是它的对称轴) ∵ 点A与点D是对称点.B点与点C是对称点.即是对称线段. ∴ AC＝BD. (注意体会用轴对称法解题之妙处) 解法2 AC＝BD. 如图.在梯形ABCD中. ∵ AD∥BC.AB＝DC. ∴ ∠ABC＝∠DCB(等腰梯形同一底上的两个角相等). 在△ABC和△DCB中. ∵ AB＝DC.∠ABC＝∠DCB.BC＝CB. 你还有其它方法吗? ∴ △ABC≌△DCB (SAS). ∴ AC＝BD. 从而.得出等腰梯形的又一个性质: 等腰梯形的对角线相等. 应用格式: 在梯形ABCD中. ∵ AB∥CD.AD＝BC. ∴ AC＝BD.
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归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
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（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
18、如图所示，图形（1），（2），（3），（4）分别由两个相同的正三角形，正方形，正五边形，正六边形组成．本题中我们探索各图形顶点，边数，区域三者之间的关系．（例我们规定如图（2）的顶点数为16；边数为24，像A1A，AH为边，AH不能再算边，边与边不能重叠；区域数为9，它们由八个小三角形区域和中间区域ABCDEFGH组成，它们相互独立．）
（1）每个图形中各有多少个顶点？多少条边？多少个区域？请将结果填入表格中．
（2）根据（1）中的结论，写出a，b，c三者之间的关系表达式．
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（1）每个图形中各有多少个顶点？多少条边？多少个区域？请将结果填入表格中．
（2）根据（1）中的结论，写出a，b，c三者之间的关系表达式．
22、已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
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（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
阅读下面材料，按要求完成后面作业。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1）， 求证：
=
。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1）， 求证：
=。 
分析：要证
=
，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。
在比例式
=
中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
=
，就可转化证
=
。
（1）完成证明过程：
证明：
（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）
答：用了：①____________；
②_____________。
（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答：____________。
（4） 用三角形内角平分线定理解答问题：
如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。
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=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。在比例式
=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。（1）完成证明过程：
证明：
（2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可）
答：用了：①____________；
②_____________。
（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想
答：____________。
（4） 用三角形内角平分线定理解答问题：
如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。
已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：
（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
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（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．
（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．
（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．
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