定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（Ⅰ）求证：f（0）=0；    
（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；
（III） 若f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

（2013•铁岭模拟）已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2

3

sin²ωx+

3

（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=

2

3

，求sin（

5

6

π-4a）的值．

已知函数的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＞0时，f（x）＞0．
（I）试判断并证明f（x）的奇偶性；
（II）试判断并证明f（x）的单调性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0对所有的θ∈[0，

π

2

]均成立，求实数m 的取值范围．