摘要：方程组两边相加.即得
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．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求
的导数，可先在两边取对数，得
，再在两边分别对x求导数，得
即为
,即导数为
。若根据上面提供的方法计算函数
的导数，则
_
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已知
，（其中
）
⑴求
及
；
⑵试比较
与
的大小，并说明理由．
【解析】第一问中取
，则
；
…………1分
对等式两边求导，得
取
，则
得到结论
第二问中，要比较与的大小，即比较：
与
的大小，归纳猜想可得结论当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
猜想：当
时，运用数学归纳法证明即可。
解：⑴取，则；
…………1分
对等式两边求导，得
，
取，则。 …………4分
⑵要比较与的大小，即比较：与的大小，
当时，；
当时，；
当时，；
…………6分
猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，
时结论成立，
假设当
时结论成立，即
，
当
时,
而
∴
即时结论也成立，
∴当时，成立。
…………11分
综上得，当时，
；
当时，
；
当
时，
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已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
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请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=
k
xk-1．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）
(-1)kk
=0；
（ii）
(-1)kk2
=0；
（iii）
=
．
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在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=
| n |
 |
| k=2 |
| C | k n |
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）
| n |
|
| k=1 |
| C | k n |
（ii）
| n |
|
| k=1 |
| C | k n |
（iii）
| n |
|
| k=1 |
| 1 |
| k+1 |
| C | k n |
| 2n+1-1 |
| n+1 |
设代数方程a0-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根±x1，±x2，…，±xn，则a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-
)(1-
)•…•(1-
)，比较两边x2的系数得a1=
=1-
+
-
+…对x∈R，x≠0成立，则由于
=0有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-
+
-
+…=(1-
)(1-
)•…•(1-
)•…，利用上述结论可得1+
+
+…+
+…=
．
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| x2 | ||
|
| x2 | ||
|
| x2 | ||
|
a0(
+
+…+
)
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
a0(
+
+…+
)
（用a0•x1•x2•…•xn表示）；若已知展开式| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| sinx |
| x |
| x2 |
| 3! |
| x4 |
| 5! |
| x6 |
| 7! |
| sinx |
| x |
| x2 |
| 3! |
| x4 |
| 5! |
| x6 |
| 7! |
| x2 |
| π2 |
| x2 |
| 22•π2 |
| x2 |
| n2π2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
| π2 |
| 6 |
| π2 |
| 6 |