13、用数学归纳法证明：当n∈N^*时，1+2+2²+…+2^5n-1是31的倍数时，当n=1时，原式的值为；从k到k+1时需增添的项是．

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且对任意的正整数n都有Sn=

an+n2

2

．
（1）求a₁，a₂及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=1，当n≥2时，bn=an2(

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an-12

)，证明：当n≥2时，

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的条件下，试比较(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)与4的大小关系．

已知数列{α_n}的前n项和为S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{α_n}是等比数列；
（2）记T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）证明：当n≥2（n∈N^*）时，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试通过研究函数g（x）=

ln(1+x)

x

（x＞0）的单调性证明：当n＞m＞0时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）证明：当n＞2013，且x₁，x₂，x₃，…，x_n均为正实数，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1 时，(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2014

)

1

2013

．