Question

设f（x）=

ax2+bx+1

x+c

（a＞0）为奇函数，且|f（x）|_min=2

2

，数列{a_n}与{b_n}满足如下关系：a₁=2，an+1=

f(an)-an

2

，bn=

an-1

an+1

．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）证明：当n∈N₊时，有b_n≤(

1

3

)n．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）为奇函数，且|f（x）|_min=2

2

，求出a，b，c即可的f（x）的解析表达式
（2）先有f（x）的解析表达式，求得a_n与a_n+1的关系，在求出b_n的通项公式，来证明

解答：解：由f（x）是奇函数，得b=c=0，
由|f（x）_min|=2

2

，得a=2，故f（x）=

2x2+1

x

（2）an+1=

f(an)-an

2

=

2 a 2 n +1 a   n -an

2

=

a 2 n +1

2an

，
bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

a 2 n +1 2an -1

a 2 n +1 2an +1

=

a 2 n -2an+1

a 2 n +2an+1

=(

an-1

an+1

)2=b_n²
∴b_n=b_n-1²=b_n-2⁴═

b

2n-1 1

，而b₁=

1

3

∴b_n=(

1

3

)2n-1
当n=1时，b₁=

1

3

，命题成立，
当n≥2时∵2^n-1=（1+1）^n-1=1+C_n-1¹+C_n-1²++C_n-1^n-1≥1+C_n-1¹=n
∴(

1

3

)2n-1＜(

1

3

)n，即b_n≤(

1

3

)n．

点评：研究函数的奇偶性必须先明确函数的定义域是否关于原点对称，在关于原点对称的基础上，再看f（x）与f（-x）的关系，相等为偶函数，相反为奇函数