第三部分 运动学

第一讲　基本知识介绍

一． 基本概念

1．  质点

2．  参照物

3．  参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）

4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v_绝=v_相+v_牵 

二．运动的描述

1．位置：r=r(t) 

2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)

3．速度：v=lim_Δt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为：v=dr/dt, 表示r对t 求导数

5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是

三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a对t的导数叫“急动度”。）

6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好

三．等加速运动

v(t)=v₀+at           r(t)=r₀+v₀t+1/2 at² 

 一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v₀沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。此抛物线为在大炮上方h=v²/2g处，以v₀平抛物体的轨迹。） 

练习题：

一盏灯挂在离地板高l₂,天花板下面l₁处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小的速度v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。）

四．刚体的平动和定轴转动

1． 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 

  2．  角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

 3．  有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量

4．  同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 

两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，V_A=V_B+V_AB,在AB连线上

投影：[V_A]_AB=[V_B]_AB,a_A=a_B+a_AB,a_AB=_,aⁿ_AB+_,a^τ_AB, _,a^τ_AB垂直于AB,_,aⁿ_AB=V_AB²/AB 

例：A，B，C三质点速度分别V_A ，V_B  ，V_C      

求G的速度。

五．课后习题：

一只木筏离开河岸，初速度为V，方向垂直于岸边，航行路线如图。经过时间T木筏划到路线上标有符号处。河水速度恒定U用作图法找到在2T，3T，4T时刻木筏在航线上的确切位置。

五、处理问题的一般方法

（1）用微元法求解相关速度问题

例1：如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为α时，A的运动速度。

（v_A＝）

（2）抛体运动问题的一般处理方法

1. 平抛运动
2. 斜抛运动
3. 常见的处理方法

（1）将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动

（2）将沿斜面和垂直于斜面方向作为x、y轴，分别分解初速度和加速度后用运动学公式解题

（3）将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解

例2：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为V₀，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？

（α=、 x=）

第二讲 运动的合成与分解、相对运动

（一）知识点点拨

1. 力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。
2. 运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律
3. 力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等
4. 运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用
1. 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

参考系的转换：动参考系，静参考系

相对运动：动点相对于动参考系的运动

绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动

牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动

（5）位移合成定理：S_A对地=S_A对B+S_B对地

速度合成定理：V_绝对=V_相对+V_牵连

加速度合成定理：a_绝对=a_相对+a_牵连

（二）典型例题

（1）火车在雨中以30m/s的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成21^。角，而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。

提示：矢量关系入图

答案：83.7m/s

（2）某人手拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？

提示：V人对梯=n1/t1

      V梯对地=n/t2

      V人对地=n/t3

V人对地= V人对梯+ V梯对地

答案：n=t₂t₃n₁/（t₂-t₃）t₁

(3)某人驾船从河岸A处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min后到达正对岸下游120m的C处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。

提示：120=V水*600

        D=V船*600

 答案：200m

（4）一船在河的正中航行，河宽l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至于被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？

提示：如图船航行

答案：1.58m/s

（三）同步练习

1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β₁=30°，另一次安装成倾角为β₂=15°。问汽车两次速度之比为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）

2、模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边长2km的等边三角形飞行，设风速u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？

3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片（俯视）。两列车沿直轨道分别以速度v₁=50km/h和v₂=70km/h行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。

4、细杆AB长L ，两端分别约束在x 、 y轴上运动，（1）试求杆上与A点相距aL（0＜ a ＜1)的P点运动轨迹；（2）如果v_A为已知，试求P点的x 、 y向分速度v_Px和v_Py对杆方位角θ的函数。

（四）同步练习提示与答案

1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案为：3。

2、提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；

第二段和第三段大小相同。

参见右图，显然：

v² =  + u² － 2v_合ucos120°

可解出 v_合 = 24km/h 。

答案：0.2hour（或12min.）。

3、提示：方法与练习一类似。答案为：3

4、提示：（1）写成参数方程后消参数θ。

（2）解法有讲究：以A端为参照， 则杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v_牵 = v_Acosθ，v_转 = v_A，可知B端相对A的转动线速度为：v_转 + v_Asinθ=  。

P点的线速度必为  = v_相 

所以 v_Px = v_相cosθ+ v_Ax ，v_Py = v_Ay － v_相sinθ

答案：（1） +  = 1 ，为椭圆；（2）v_Px = av_Actgθ ，v_Py =（1 － a）v_A

第一问  车和物体收到的力都是摩擦力

f=μmg   车的加速度a1=f/M=μmg/M=1m/s^2

滑块的加速度a2=f/m=μmg/m=5m/s^2

第二问  S=2.7m

假设不能从车上滑出  那么滑块最后必定停留在车上   并且和车具有同样的末速度  设为v'

因为系统在水平方向上所受的合外力为零  所以满足动量守恒

Mv+mv0=(M+m)*v' →  v'=v0*m/(M+m)=7.5*10/(10+50)=1.25m/s

然后我们看能量  如果系统的初动能减去末动能  小于摩擦力所能做的最大功（就是滑块滑到头 但没掉下来）  那么假设成立  反之  不成立  不能明白的话  我们看下面具体的解答

先求系统的末动能  Ek'=1/2(M+m)v'^2=1/2*(50+10)*1.25^2=46.875(J)

系统的初动能  Ek=1/2mv0^2=1/2*10*7.5^2=281.25(J)

摩擦力所能做的最大功   W=fs=μmgs=0.5*10*10*3=150(J)

Ek-Ek'＞W  所以也就是说  系统的初动能被摩擦力消耗掉一部分后【克服摩擦力做功】  所剩下的动能  还是要大于他们最后一起以同样的速度运动时的动能  因此滑块最后不肯能停在车上

那么   我们就来求滑块落地时与平板车右端间的水平距离

因为滑块滑出小车后  在水平方向上和小车都是做匀速运动

所以他们之间的距离  就是他们的速度差乘以滑块落地所需的时间

那么  我们就需要算出滑块的末速度v'和小车的末速度v''

现在有两个未知数 那就必须有两个方程

第一个方程是能量方程  Ek-W=1/2mv'^2+1/2Mv''^2

第二个方程是动量方程  mv0=mv'+Mv''

联立这两个方程 解得  v''=0.5m/s  或 v''=2m/s(舍掉）

从而得到v'=5m/s

接下来算滑块落地要多长时间

由h=1/2gt^2  带入数据  得t=0.6s

所以最后的答案：  S=（v'-v'')*t=4.5*0.6=2.7m

Ⅰ．像打点计时器一样，光电计时器也是一种研究物体运动情况的常见计时仪器，其结构如图甲如示a、b分别是光电门的激光发射和接收装置．当有物体从a、b间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间．现利用图乙所示装置设计一个“探究物体运动的加速度与合外力、质量关系的实验，图中NQ是水平桌面、PQ是一端带有滑轮的长木板，1、2是固定在木板上的两个光电门（与之连接的两上光电计时器没有画出）．小车上固定着用于挡光的窄片K，让小车从木板的顶端滑下，光电门各自连接的计时器显示窄片K的挡光时间分别为t₁和t₂．
（1）用游标卡尺测量窄片K的宽度d（已知L＞＞d），光电门1，2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为t₁、t₂．则窄片K通过光电门1的速度表达式v₁=______．
（2）用米尺测量两光电门间距为L，则小车的加速度表达式a=______．
（3）该实验中，为了把砂和砂桶拉车的力当作小车受的合外力，就必须平衡小车受到的摩擦力，正确的做法是_______．
（4）实验中，有位同学通过测量，把砂和砂桶的重力当作小车的合外力F，作出a-F图线，如图丙中的实线所示．试分析：图线不通过坐标原点O的原因是______；曲线上部弯曲的原因______．

Ⅱ．（1）电磁打点计时器是一种计时的仪器，使用时要注意调节好振针的高度，如果振针的位置过低，打出的纸带的点迹是______，还会对纸带产生______，对实验结果有较大的影响．利用打点计时器和如图1的其它器材可以开展多项实验探究，其主要步骤如下：
a、按装置安装好器材并连好电路
b、接通电源，释放纸带，让重锤由静止开始自由下落
c、关闭电源，取出纸带．更换纸带，重复步骤b，打出几条纸带
d、选择一条符合实验要求的纸带，数据如图2（相邻计数点的时间为T），
（2）进行数据处理

①若是探究重力做功和物体动能的变化的关系．需求出重锤运动到各计数点的瞬时速度，试表示在B点时重锤运动的瞬时速度V_B=______．
②若是测量重力加速度g．为减少实验的偶然误差，采用逐差法处理数据，则加速度大小可以表示为g=______．
③如果求出的加速度值与当地重力加速度公认的值g′有较大差距，说明实验过程存在较大的阻力，若要测出阻力的大小，则还需测量的物理量是______．试用这些物理量和纸带上的数据符号表示出重锤在下落的过程中受到的平均阻力大小F=______．