正项数列{a_n}，其前n项和为S_n并且满足：a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若，判断数列{b_n}的单调性，并证明之．

设集合W由满足下列两个条件的数列构成：

①

②存在实数M，使（n为正整数）

   （I）在只有5项的有限数列

        ；试判断数列是否为集合W的元素；

   （II）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；

  （III）设数列且对满足条件的M的最小值M₀，都有.

        求证：数列单调递增.