已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．
（1）若椭圆C₁过点（

2

，0）和（0，2），求椭圆C₁的标准方程；
（2）试判断命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由．

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．
（1）若椭圆C₁过点（，0）和（0，2），求椭圆C₁的标准方程；
（2）试判断命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由．

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，焦距为2，并且椭圆C上的点与焦点最短的距离是1。
（1）求椭圆C的离心率及标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，则k与m之间应该满足怎样的关系？
（3）在（2）的条件下，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l必过定点，并求出定点的坐标。