Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．
（1）若椭圆C₁过点（

2

，0）和（0，2），求椭圆C₁的标准方程；
（2）试判断命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先判定椭圆的焦点位置，然后根据椭圆C₁过点（

2

，0）和（0，2），可直接求出椭圆C₁的标准方程；
（2）设椭圆C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），根据椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且构成直角三角形求出m与n的等式关系，最后消去n可得m（x²-y²）+y²-1=0对任意0＜m＜1且m≠

1

2

均成立，建立关系式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）因为2＞

2

，所以椭圆的焦点在y轴上
所以椭圆C₁的标准方程为

x2

2

+

y2

4

=1
（2）命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，
且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真命题．
设椭圆C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C₂上任意一点，
则过点P的圆C₂的切线方程为sx+ty=1
因为椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点A、B，不妨设t≠0
由

mx2+ny2=1 sx+ty=1

得（mt²+ns²）x²-2nsx+n-t²=0
∵OA⊥OB，根据根与系数的关系建立等式，
∴m+n-1=0
所以满足椭圆的方程mx²+（1-m）y²=1（0＜m＜1且m≠

1

2

）
即m（x²-y²）+y²-1=0对任意0＜m＜1且m≠

1

2

均成立
所以

x2-y2=0 y2-1=0

即x²=y²=1
所以，满足条件的椭圆C₁恒过定点（1，1），（-1，1），（1，-1），（-1，-1）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆恒过定点的问题是一道综合题，同时考查了计算能力，运算求解能力．