（本题满分12分）

棱长为1的正方体ABCD—A­₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O₁、O₂、O₃分别为平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心.

   （1）求PO₂的长。

   （2）求证：B₁O₃⊥PA；

   （3）求异面直线PO₃与O₁O₂所成的角；

（满分12分）正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，且AC 与BD 交于点O，E 为棱DD₁ 中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.
(Ⅰ)求证：B₁O⊥平面EAC；
(Ⅱ)若点 F 在 EA 上且 B₁F⊥AE，试求点 F 的坐标；
(Ⅲ)求二面角B₁－EA－C 的正弦值.

如图在棱长为1的正方体ABCD―A′­B′C′D′中，E、F分别是DD′，BD中点，G在棱CD上，且CG=。

   （1）求证，EF⊥B′C；

   （2）求EF与C′G所成的角的余弦值。

如图在棱长为1的正方体ABCD―A′­B′C′D′中，E、F分别是DD′，BD中点，G在棱CD上，且CG=。

   （1）求证，EF⊥B′C；

   （2）求EF与C′G所成的角的余弦值。

（本小题满分12分）

正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、G分别是BC、C₁D₁的中点，如图所示.

（1）求证：BD⊥A₁C；

（2）求证：EG∥平面BB₁D₁D.