（本小题满分12分）如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA =90°，∠，=2，若二面角为30°.   （Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求与平面所成角的正切值；

（Ⅲ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求P到平面距离.

（本小题满分12分）如图，斜三棱柱中，在底面的射影恰好是的中点，侧棱与底面成角，侧面与侧面成角.

（1）求证：四边形是矩形；（2）求斜三棱柱的体积.

（本小题满分12分）

如图，斜三棱柱，已知侧面与底面垂直且，，，若二面角为，

（1）证明平面；                        

（2）求与平面所成角的正切值；

（3）在平面内找一点，使三棱锥为正三棱锥，并求点到平面距离.

（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，已知侧面与底面垂直，且，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面内的射影为底面的中心），并求此三棱锥体积．