(本小题满分10分)

对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围。

(本小题满分15分)

记函数．

 (1)若函数在处取得极值，试求的值；

(2)若函数有两个极值点,

且，试求的取值范围；

（3）若函数对任意恒有成立，试求的取值范围．（参考：）

（本小题满分15分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，试分别解答以下两小题.

（ⅰ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（ⅱ）若是两个不相等的正数，且，求证：．

（本小题满分15分）已知函数

（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，求在上的最大值和最小值；

（3）当时，求证对任意大于1的正整数，恒成立.

（本小题满分15分）

已知函数，．

（Ⅰ）若函数的图象在处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）设函数，对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，请问：是否存在整数的值，使方程有且只有一个实根？若存在，求出整数的值；否则，请说明理由．