21．(本小题满分14分)

定义数列{a_n}如下：a₁＝2，a_n＋1＝a_n²－a_n＋1，n∈N^*.证明：

(1)对于n∈N^* 恒有a_n＋1＞a_n 成立；

(2)当n∈N^*时，有a_n＋1＝a_na_n－1…a₂a₁＋1成立；

(3)

（本小题满分14分）已知定义在上的函数同时满足：①对任意，都有②当时，，试解决下列问题：   （Ⅰ）求在时，的表达式；（Ⅱ）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对任意，关于的不等式都成立，求实数的取值范围.

（本小题满分14分）
设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）
已知：对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，
（1）若数列的通项公式（），求：数列的通项公式；
（2）若数列的首项是1，且满足，
　　　①设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
　　　②求：数列的通项公式及前项和

（本小题满分14分）
已知函数的定义域为R, 且对于任意R,存在正实数,使得
都成立.
若,求的取值范围；
当时，数列满足，.
证明：；
令，证明：.