(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.

(1) 求数列及的通项公式;

(2) 求数列的前项和；

(3) 证明存在，使得对任意均成立．

（本小题满分14分）

如图，正四棱柱中，,点在上且.

(1) 证明：平面;

(2) 求二面角的余弦值.

(本小题满分14分)

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

………………………

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

（1）证明：；

（2）求数列的通项公式；

（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

（本小题满分14分）有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为（）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．

（本小题满分14分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．