已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用的定义域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

解： （I）的定义域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是     ．．．．．．．．4分

（II）若对任意不等式恒成立，

问题等价于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

当b<1时，；

当时，；

当b>2时，；             ．．．．．．．．．．．．8分

问题等价于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以实数b的取值范围是 

已知递增等差数列满足：，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式对任意恒成立，试猜想出实数的最小值，并证明．

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为，

由题意可知，即，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于，利用当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为然后加以证明即可。

解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等价于，

当时，；当时，；

而，所以猜想，的最小值为．     …………8分

下证不等式对任意恒成立．

方法一：数学归纳法．

当时，，成立．

假设当时，不等式成立，

当时，， …………10分

只要证  ，只要证  ，

只要证  ，只要证  ，

只要证  ，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分

方法二：单调性证明．

要证 

只要证  ，  

设数列的通项公式，        …………10分

，    …………12分

所以对，都有，可知数列为单调递减数列．

而，所以恒成立，

故的最小值为．

已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

第二问中，∵，，      

∴原不等式等价于：,

即, 亦即

分离参数的思想求解参数的范围

解：（Ⅰ)当时，，．

当在上变化时，，的变化情况如下表：

∴时，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等价于：,

即, 亦即．

∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范围是

某投资公司年初用万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出万元，第二年需要支出万元，第三年需要支出万元，……，每年都比上一年增加支出万元，而每年的生产收入都为万元．假设这套生产设备投入使用年，，生产成本等于生产设备购置费与这年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润等于这年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：

方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备；

方案二：当生产总利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．

某投资公司年初用万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出万元，第二年需要支出万元，第三年需要支出万元，……，每年都比上一年增加支出万元，而每年的生产收入都为万元．假设这套生产设备投入使用年，，生产成本等于生产设备购置费与这年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润等于这年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：
方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备；
方案二：当生产总利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．