（Ⅰ）证明：的导数；

（Ⅱ）若对所有都有，求a的取值范围。

设函数．

（Ⅰ）证明：的导数；

（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

设函数的导数为f′（x）．
（I）当a=1时，证明：f′（x）＞0；
（II）当a=1时，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，且a_n+1=f（a_n），求证：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（III）若y=f（x）的单调增函数，求正数a的取值范围．