摘要：如图.在四棱锥P-ABCD中.则面PAD⊥底面ABCD.侧棱PA=PD＝.底面ABCD为直角梯形.其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD,(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小,(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q.使得它到平面PCD的距离为?若存在.求出 的值,若不存在.请说明理由.本小题主要考查直线与平面的位置关系.异面直线所成角.点到平面的距离等基本知识.考查空间想象能力.逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一:(Ⅰ)证明:在△PAD中PA=PD,O为AD中点.所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD.所以PO⊥平面ABCD.(Ⅱ)连结BO.在直角梯形ABCD中.BC∥AD.AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形.所以OB∥DC.由(Ⅰ)知.PO⊥OB,∠PBO为锐角.所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中.AB=1,AO=1,所以OB＝.在Rt△POA中.因为AP＝.AO＝1.所以OP＝1.在Rt△PBO中.tan∠PBO＝所以异面直线PB与CD所成的角是.(Ⅲ)假设存在点Q.使得它到平面PCD的距离为.设QD＝x.则.由(Ⅱ)得CD=OB=.在Rt△POC中. 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2.所以存在点Q满足题意.此时.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点.的方向分别为x轴.y轴.z轴的正方向.建立空间直角坐标系O-xyz,依题意.易得A,C,P,所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos. (Ⅲ)假设存在点Q.使得它到平面PCD的距离为.由(Ⅱ)知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即.取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=.设由.得解y=-或y=.此时.所以存在点Q满足题意.此时.

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