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解：（1）由抛物线C1：
得顶点P的坐标为（2，5）………….1分
∵点A（－1，0）在抛物线C1上∴
.………………2分
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..
∵点P、M关于点A成中心对称,
∴PM过点A，且PA＝MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.
∴顶点M的坐标为（
，5）.………………………3分
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式
. …………4分
（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称.
由（2）得点N的纵坐标为5.
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.
∵旋转中心Q在x轴上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，点E坐标为（
，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.
根据勾股定理，得
①当∠PNE＝90º时，PN2+ NE2＝PE2，
解得m＝
，∴N点坐标为（，5）
②当∠PEN＝90º时，PE2+ NE2＝PN2，
解得m＝
，∴N点坐标为（，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ………7分
综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分
【小题1】如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF= ▲ °；
【小题2】如图2，若EF =
CD，GD=AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时， ∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出tanα． 
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解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上．连结ED，FG，交点为H．
【小题1】如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF= ▲ °；
【小题2】如图2，若EF =
CD，GD=AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时， ∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出tanα． 
小题1:如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF= ▲ °；
小题2:如图2，若EF =
CD，GD=AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时， ∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出tanα． 
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
