摘要：3．已知函数f(x)＝ax2-(a+2)x+ln x. (1)当a＝1时.求曲线y＝f(x)在点(1.f(1))处的切线方程, (2)当a>0时.若f(x)在区间[1.e]上的最小值为-2.求a的取值范围, (3)若对任意x1.x2∈.x1<x2.且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立.求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时.f(x)＝x2-3x+ln x.f′(x)＝2x-3+. 因为f′(1)＝0.f(1)＝-2. 所以切线方程是y＝-2. (2)函数f(x)＝ax2-(a+2)x+ln x的定义域是． 当a>0时.f′(x)＝2ax-(a+2)+＝(x>0). 令f′(x)＝0.即f′(x)＝ ＝＝0. 所以x＝或x＝. 当0<≤1.即a≥1时.f(x)在[1.e]上单调递增. 所以f(x)在[1.e]上的最小值是f(1)＝-2, 当1<<e时.f(x)在[1.e]上的最小值是f<f(1)＝-2.不合题意, 当≥e时.f(x)在(1.e)上单调递减. 所以f(x)在[1.e]上的最小值是f(e)<f(1)＝-2.不合题意． 综上a的取值范围是[1.+∞)． (3)设g(x)＝f(x)+2x.则g(x)＝ax2-ax+ln x. 只要g(x)在上单调递增即可． 而g′(x)＝2ax-a+＝. 当a＝0时.g′(x)＝>0.此时g(x)在上单调递增, 当a≠0时.只需g′(x)≥0在上恒成立.因为x∈.只要2ax2-ax+1≥0.则需要a>0. 对于函数y＝2ax2-ax+1.过定点(0,1).对称轴x＝>0.只需Δ＝a2-8a≤0. 即0<a≤8. 综上a的取值范围是[0,8]．

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