摘要：所以.= n?1.= n?2.--.=2.累加得:
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通过计算可得下列等式：
22-12=2×1+1；
32-22=2×2+1；
42-32=2×3+1；
…；
（n+1）2-n2=2n+1
将以上各式相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n
所以可得：1+2+3+…+n=
．
类比上述求法：请你求出13+23+33+…+n3的值．（提示：12+22+32+…+n2=
）
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22-12=2×1+1；
32-22=2×2+1；
42-32=2×3+1；
…；
（n+1）2-n2=2n+1
将以上各式相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n
所以可得：1+2+3+…+n=
| n(n+1) |
| 2 |
类比上述求法：请你求出13+23+33+…+n3的值．（提示：12+22+32+…+n2=
| n(n+1)(2n+1) |
| 6 |
（Ⅰ）求证：
=
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；
（Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
=
；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．
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| C | m n |
| n |
| m |
| C | m-1 n-1 |
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；
（Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
| (1+x)[1-(1+x)n] |
| 1-(1+x) |
| (1+x)n+1-(1+x) |
| x |
用数学归纳法证明“
＜n+1 （n∈N*）”．第二步证n=k+1时（n=1已验证，n=k已假设成立），这样证明：
=
＜
=（k+1）+1，所以当n=k+1时，命题正确．此种证法（ ）
| n2+n |
| (k+1)2+(k+1) |
| k2+3k+2 |
| k2+4k+4 |
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某同学回答“用数学归纳法证明
＜n+1(n∈N)”的过程如下:
＜n+1(n∈N)”的过程如下:证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有
＜k+1,那么当n=k+1时,
=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的,由(1)(2)可知对于n∈N,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( )
A.当n=1时,验证过程不具体
B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严密
D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
查看习题详情和答案>>已知函数
的最小值为0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若对任意的
有
≤
成立，求实数
的最小值；
（Ⅲ）证明
（
）.
【解析】(1)解：
的定义域为
由
，得
当x变化时，
，的变化情况如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
极小值 |
|
因此，在
处取得最小值，故由题意
，所以
（2）解：当
时，取
，有
，故时不合题意.当
时，令
，即
令
，得
①当
时，
，
在
上恒成立。因此
在
上单调递减.从而对于任意的
，总有
，即
在上恒成立，故符合题意.
②当
时，
，对于
，
，故在
上单调递增.因此当取时，
，即
不成立.
故不合题意.
综上，k的最小值为
.
（3）证明：当n=1时，不等式左边=
=右边，所以不等式成立.
当
时，
在（2）中取
，得
，
从而
所以有
综上，
，
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