摘要：24．如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.以AC为直径的⊙O与AB边交于点D.过点D作⊙O的切线.交BC于E． (1)求证:点E是边BC的中点, (2)求证:BC2=BD•BA, (3)当以点O.D.E.C为顶点的四边形是正方形时.求证:△ABC是等腰直角三角形． 分析: (1)利用切线的性质及圆周角定理证明,(2)利用相似三角形证明, (3)利用正方形的性质证明． 证明:(1)如图.连接OD．∵DE为切线.∴∠EDC+∠ODC=90°, ∵∠ACB=90°.∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC.∴∠ODC=∠OCD. ∴∠EDC=∠ECD.∴ED=EC,∵AC为直径.∴∠ADC=90°. ∴∠BDE+∠EDC=90°.∠B+∠ECD=90°.∴∠B=∠BDE.∴ED=DB． ∴EB=EC.即点E为边BC的中点, (2)∵AC为直径.∴∠ADC=∠ACB=90°.又∵∠B=∠B ∴△ABC∽△CDB.∴.∴BC2=BD•BA, (3)当四边形ODEC为正方形时.∠OCD=45°,∵AC为直径. ∴∠ADC=90°.∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45° ∴Rt△ABC为等腰直角三角形． 点评:本题是几何证明题.综合考查了切线性质.圆周角定理.相似三角形.正方形.等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查.难度不大．

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