摘要：三.解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 数列{an}满足a1=1.a2=2.an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an.证明{bn}是等差数列, (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)由an+2=2an+1-an+2得an+2- an+1=an+1-an+2.即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为1.公差为2的等差数列, 得bn=1+2(n-1).即an+1-an=2n-1.于是 于是an-a1=n2-2n.即an=n2-2n +1+a1.又a1=1.所以{an}的通项公式为an=n2-2n +2. △ABC的内角A,B,C的对边分别是a.b.c.已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B. 解:由题设和正弦定理得.3sinAcosC=2sinCcosA, 所以3tanAcosC=2sinC. 因为tanA=.所以cosC=2sinC. tanC=. 所以tanB=tan[180-(A+C)] =-tan(a+c) ==-1, 即B=135. 如图.三棱柱ABC-A1B1C1中.点A1在平面ABC内的射影D在AC上.∠ACB=90.BC=1.AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为.求二面角A1-AB-C的大小. 解法一:(1)∵A1D⊥平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC.所以BC⊥平面AA1C1C.连结A1C.因为侧面AA1C1C是棱形.所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B. (2) BC⊥平面AA1C1C.BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1, 作A1E⊥C1C,E为垂足.则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1.因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离.A1E=.因为A1C为∠ACC1的平分线.故A1D=A1E=, 作DF⊥AB.F为垂足.连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB.故∠A1FD为二面角A1-AB­-C的平面角.由AD=,得D为AC的中点.DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB­-C的大小为arctan. 解法二:以C为坐标原点.射线CA为x轴的正半轴.以CB的长为单位长.建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行.z轴在平面AA1C1C内. (1)设A1.由题设有a≤2.A.则, ..由得.即.于是①,所以. (2)设平面BCC1B1的法向量.则.,即.因.故y=0.且(a-2)x-cz=0.令x=c.则z=2-a..点A到平面BCC1B1的距离为.又依题设.点A到平面BCC1B1的距离为.所以c= .代入①得a=3或a=1.于是. 设平面ABA1的法向量.则,即.且-2p+q=0.令p=.则q=2.r=1..又为平面ABC的法向量.故cos.所以二面角A1-AB­-C的大小为arccos20. 设每个工作日甲.乙.丙.丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6. 0.5,0.5,0.4.各人是否使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率, (2)实验室计划购买k台设备供甲.乙.丙.丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k 的概率小于0.1.求k的最小值. 解:记Ai表示事件:同一工作日乙.丙中恰有i人需使用设备.i=0,1,2. B表示事件:甲需使用设备. C表示事件:丁需使用设备. D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. E表示事件:同一工作日4人需使用设备. F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C P=0.4.P(Ai)=. 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)= P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C) = P(A1P)·P+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31. 知.若k=3.则P(F)==0.31>0.1. 又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)= P·P(A2)=0.06, 若k=4.则P(F)=0.06<0.1. 所以k的最小值为3.

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