摘要： 某同学在一次研究性学习中发现.以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin2 13°+cos2 17°-sin 13°cos 17°,②sin2 15°+cos2 15°-sin 15°cos 15°, ③sin2 18°+cos2 12°-sin 18°cos 12°,④sin2 +cos2 48°-sincos 48°, ⑤sin2+cos2 55°-sincos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个.求出这个常数, 的计算结果.将该同学的发现推广为三角恒等式.并证明你的结论． 解 法一(1)选择②式.计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°＝1-sin 30°＝1-＝. (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)＝. 证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) ＝sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) ＝sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α＝sin2α+cos2α＝. 考向二 类比推理 [例2] (1)在平面几何里.有“若△ABC的三边长分别为a.b.c.内切圆半径为r.则三角形面积为S△ABC＝(a+b+c)r .拓展到空间.类比上述结论.“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1.S2.S3.S4.内切球的半径为r.则四面体的体积为 ． 解析 三角形的面积类比为四面体的体积.三角形的边长类比为四面体四个面的面积.内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的.得V四面体ABCD＝(S1+S2+S3+S4)r. 答案 V四面体ABCD＝(S1+S2+S3+S4)r (2) 设等差数列{an}的前n项和为Sn.则S4.S8-S4.S12-S8.S16-S12成等差数列．类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn.则T4. . .成等比数列． [审题与转化] 第一步:观察等差数列{an}前n项和Sn的特点． [规范解答] 第二步:由等差数列“S4.S8-S4.S12-S8.S16-S12 中的“差 .类比到等比数列中的“商 ．故可得T4...成等比数列． [反思与回顾] 第三步:类比推理是以比较为基础的.它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较.而做出有关另一个特殊属性的结论.是从特殊到特殊的推理.利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明． [方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性.推测正在研究的事物的属性.是以旧有的认识为基础.类比出新的结果,(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,(3)类比的结果是猜测性的.不一定可靠.但它却有发现的功能． [训练2]

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