摘要：27．如图1.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.P为BC边上任意一点.点Q为AC边上的动点.分别以CP.PQ为边作等边△PCF和等边△PQE.连接EF． (1)直接写出图1中EF与AB的位置关系: ▲ , (2)如图2.当点P为BC延长线上任意一点时.(1)中的结论是否成立?请说明理由． (3)如图3.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=°.P为BC延长线上一点.点Q为AC边上的动点.分别以CP.PQ为腰作等腰△PCF和等腰△PQE.使得PC=PF.PQ=PE.连接EF．当△PCF和△PQE满足什么条件时.(1)中的结论仍然成立?为什么? 解:(1)EF⊥AB． 证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形. ∴PF=PC.PE=PQ. ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°. ∴∠EPF=∠QPC. 在△PFE和△PCQ中 PF＝PC, ∠EPF＝∠QPC, PE＝PQ ∴△PFE≌△PCQ(SAS), ∴∠EFP=∠QCP=90°. ∴EF⊥PF, 在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°. ∴∠B=60°, 又∵∠FPC=60°. ∴∠B=∠FPC. ∴PF∥AB(同位角相等.两直线平行). ∴EF⊥AB, (2)当点P为BC延长线上任意一点时.(1)结论成立． 证明:∵△PCF和△PQE都是等边三角形. ∴PF=PC.PE=PQ. ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°. ∴∠EPF=∠QPC. 在△PFE和△PCQ中 PF＝PC, ∠EPF＝∠QPC, PE＝PQ ∴△PFE≌△PCQ(SAS), ∴∠EFP=∠QCP=90°.∴EF⊥PF, 在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.∴∠B=60°, 又∵∠FPC=60°.∴∠B=∠FPC. ∴PF∥AB(内错角相等.两直线平行).∴EF⊥AB, 的结论依然成立.则需要添加条件是:∠CPF=∠B=∠QPE． 需要证明△PFE≌△PCQ.PF∥AB(内错角相等.两直线平行).才能证明EF⊥AB．

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