摘要：19．在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.已知(2a+b)cosC+ccosB＝0. (1)求角C的大小, (2)若c＝4.求使△ABC面积取得最大值时的a.b的值． 解:(1)由已知及由正弦定理得(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB＝0.所以2sinAcosC+(sinBcosC+sinCcosB)＝0. 所以sin(B+C)+2sinAcosC＝0. 即sinA+2sinAcosC＝0. 因为0<A<π.sinA>0.所以cosC＝-.所以C＝. (2)因为△ABC的面积为S＝absinC＝ab.若使得S取得最大值.只需要ab取得最大值． 由余弦定理可得.c2＝a2+b2-2abcosC. 即16＝a2+b2+ab≥3ab.故ab≤.当且仅当a＝b时取等号． 故使得△ABC面积取得最大值时a.b的取值为a＝b＝.

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