摘要：20．已知数列{an}满足:a1＝1.a2＝2.且an+2＝(2+cosnπ)(an-1)+3.n∈N*. (1)求通项an, (2)设{an}的前n项和为Sn.问:是否存在正整数m.n(m≤3.n≤3).使得S2n＝mS2n-1?若存在.请求出所有符合条件的正整数对(m.n).若不存在.请说明理由． 解:(1)当n是奇数时.cosnπ＝-1,当n是偶数时.cosnπ＝1. 所以当n是奇数时.an+2＝an+2,当n是偶数时.an+2＝3an. 又a1＝1.a2＝2.所以a1.a3.a5.-.a2n-1.-是首项为1.公差为2的等差数列, a2.a4.a6.-.a2n.-是首项为2.公比为3的等比数列． 所以an＝. 得S2n＝(a1+a3+-+a2n-1)+(a2+a4+-+a2n)＝(1+3+-+2n-1)+(2+6+-+2×3n-1)＝3n+n2-1. S2n-1＝S2n-a2n＝3n+n2-1-2×3n-1＝3n-1+n2-1. 若使S2n＝mS2n-1的正整数对(m.n)存在.即满足3n+n2-1＝m(3n-1+n2-1)的正整数对(m.n)存在．当n＝1时.31+12-1＝m(31-1+12-1).m＝3,当n＝2时.32+22-1＝m(32-1+22-1).m＝2,当n＝3时.33+32-1＝m(33-1+32-1).这时不存在正整数m.故满足题意的正整数对(m.n)只有．

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