摘要：20．设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F.直线l过F且与抛物线C交于M.N两点.已知当直线l与x轴垂直时.△OMN的面积为2(O为坐标原点)． (1)求抛物线C的方程, (2)是否存在直线l.使得以线段MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上?若存在.求出直线l的方程,若不存在.请说明理由． 解:(1)∵当直线l与x轴垂直时.|MN|＝2p.∴S△OMN＝×2p×＝＝2.∴p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设正方形的第三个顶点为P. ∵直线l与x轴垂直或y＝0时.不满足条件． 故可设直线l:y＝k(x-1)(k≠0).M(x1.y1).N(x2.y2).P(0.y0)． 联立.可得k2x2-(2k2+4)x+k2＝0. 则. ∴线段MN的中点为(.).. 则线段MN的垂直平分线为y-＝-(x-1-).故P(0.+)． 又·＝0.∴x1x2+(y1-y0)(y2-y0)＝0.即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y＝0. 1-4-y0·+y＝0.化简得.ky-4y0-3k＝0.由y0＝+代入上式化简得.(3k4-4)(k2+1)＝0.解得k＝±. ∴存在直线l:y＝±(x-1)满足题意．

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