（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）当a=0，b=3时，求函数，f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x2

-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范围
（Ⅲ）若0＜a＜b，点A（s，f（s）），B（t，f（t））分别是函数f（x）的两个极值点，且0A⊥OB，其中0为原点，求a+b的取值范围．

（2013•丽水一模）已知函数f(x)=

1

2

x(1+ae-2x+2)．
（Ⅰ）若a=1，记g（x）=f′（x），求证：当x＞

1

2

时，0≤g(x)＜

1

2

；
（Ⅱ）若x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且x₁＜1＜x₂，若f(xi)＜

4

3

（i=1，2），求实数a的取值范围．（注：e是自然对数的底数．）

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若

.

x1

.

+

.

x2

.

=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：

.

g(x)

.

≤

1

12

a(3a+2)2．

（2013•未央区三模）设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=

3

8

时，判断方程f（x）=-

1

4

的实数根的个数，并说明理由．

已知x＞0，函数f(x)=lnx-

ax

x+1

（1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当f（x）有两个极值点（设为x₁和x₂）时，求证：f(x1)+f(x2)≥

x+1

x

•[f(x)-x+1]．