Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若

.

x1

.

+

.

x2

.

=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：

.

g(x)

.

≤

1

12

a(3a+2)2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），知f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），由

f′(-1)=3a-2b-a2=0 f′(2)=12a+4b-a2=0

，（a＞0），能求出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，所以(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，由此能求出b的最大值．
（Ⅲ）由x₁，x₂是方程f′（x）=0的两根，知f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），由x1•x2=-

a

3

，x₂=a，知x1=-

1

3

，故|g（x）|=|3a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]，由此能够证明|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），
依题意有

f′(-1)=3a-2b-a2=0 f′(2)=12a+4b-a2=0

，（a＞0）
解得a=6，b=-9，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，
∴(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|=8，
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤6，
设p（a）=3a²（6-a），则p′（a）=-9a²+36a，
由p′（a）＞0，得0＜a＜4，
由p′（a）＜0，得a＞4，
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是
∴b的最大值是4

6

．
（Ⅲ）证明：∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的两根，
∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），
∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，∴x1=-

1

3

，
∴|g（x）|=|3a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]，
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a，
∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)，
∴|g(x)|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a
≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

，
∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．

点评：本题以函数为载体，考查学生会用待定系数法求函数解析式，考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确理解极值的含义．