4.(2010四川理)(18)(本小题满分12分)

已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.

(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；

(Ⅱ)求二面角M－BC'－B'的大小；

(Ⅲ)求三棱锥M－OBC的体积.

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：(1)连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK

因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点

所以AM

所以MO

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’

因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’

所以AK⊥BD’

所以MO⊥BD’

又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线

(2)取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’

过点N作NH⊥BC’于H，连结MH

则由三垂线定理得BC’⊥MH

从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角

MN=1,NH=Bnsin45°=

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2

(3)易知，S_△OBC=S_△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内

点O到平面MA’D’距离h＝

V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’=S_△MA’D’h=

解法二：

以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)

(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点

所以M(1,0, ),O(,,)

,=(0,0,1),=(-1,-1,1)

=0, +0=0

所以OM⊥AA’,OM⊥BD’

又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分

(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)

=(0,-1,), ＝(－1,0,1)

　 即

取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2)

取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)

cos

由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角

故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分

(3)易知，S_△OBC＝S_△BCD'A'＝

设平面OBC的一个法向量为＝(x₁,y₁,z₁)

＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)

　 即

取z₁＝1,得y₁＝1，从而＝(0,1,1)

点M到平面OBC的距离d＝

V_M－OBC＝…………………………………………12分

2009年高考题

3.(2010安徽文)19.(本小题满分13分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

(Ⅱ)求证：AC⊥平面EDB;

(Ⅲ)求四面体B-DEF的体积；

[命题意图]本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

[解题指导](1)设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得∥平面；(2)利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；(3)证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

[规律总结]本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.

2.(2010陕西文)18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

　　 (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

　　 (Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积V.

　　 解　 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.

　　 又BC∥AD,∴EF∥AD,

　　 又∵AD平面PAD,EF平面PAD,

　　 ∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,

　　 则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.

　　 在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.

　　 ∴S_△ABC=AB·BC=××2=,

　　 ∴V_E-ABC=S_△ABC·EG=××=.

1.(2010上海文)20.(本大题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2

小题满分7分.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).

(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该

最大值(结果精确到0.01平方米);

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出

用于灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).

解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)²+0.48p， 所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略．

7.(2010天津理)(12)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为　　　　　

[答案]

[解析]本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。

由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ =

[温馨提示]利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。

6.(2010天津文)(12)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为　　　　　 。

[答案]3

[解析]本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。

由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为

[温馨提示]正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。

5.(2010辽宁理)(15)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

[答案]

[命题立意]本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。

[解析]由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为

4.(2010辽宁文)(16)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的

长为　　　　　 .

　 解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，

所以最长的一条棱的长为

3.(2010浙江理)(12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是___________.

解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题

2.(2010湖南文)13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm²的几何体的三视图，则h=　　　 cm

[答案]4