578. 正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B₁D₁的中点，求异面直线DN与MC₁所成的角。

解析：连NG、EM、EN、DE

∵ EMAC，NC₁AC

∴ NC₁EM

∴ NE∥MC₁

∴ ∠DNE为异面直线DN与MC₁所成的角

设AB=a，则DE=EN=GM=，DN=

△　　　　　　　 DNE中，cos∠DNE=

∴ 异面直线DN与MC₁所成的角为arccos.

577. 长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2，BC=BB’=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC’所成角的大小

解析：∵MN∥AC，AC∥A’C’，∴MN∥A’C’

∴ ∠BC’A’就是MN与BC’所成的角

△　　　　　　　 BA’C中，BC’=，BA’=A’C’=

∴ cos∠BC’A’=

576. M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN<(AD+BC)。

证明：取AC中点P，则MP=BC，NP=AD

∴ MN<MP+NP=(BC+AD)

575. 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，AA₁=c，求异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值。

解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD₁和B₁C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF-D₁C₁E₁F₁。具体作法是：延长A₁D₁，使A₁D₁=D₁F₁，延长B₁C₁至E₁，使B₁C₁=C₁E₁，连E₁F₁，分别过E₁、F₁，作E₁EC₁C，F₁FD₁D，连EF，则长方体C₁D₁F₁E-CDFE为所作长方体。

∵ BCD₁F₁

∴ BD₁CF₁

∴ ∠B₁CF₁就是异面直线BD₁与B₁C所成的角。

∵ BD²=a²+b²

∴ Rt△BDD₁中，BD₁²=BD²+DD₁²=a²+b²+c²

∴ CF₁²=BD₁²=a²+b²+c²

∵ B₁C²=b²+c²，B₁F₁²=a²+4b²

∴ △B₁CF₁中

　 cos∠B₁CF₁=

(1)　　　　　 当c>b时， cos∠B₁CF₁>0

　∴ ∠B₁CF₁为锐角，∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

(2)　　　　　 当c<b时，cos∠B₁CF₁<0

∴ ∠B₁CF₁是钝角

∴ π-∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

(3)　　　　　 当c=b时，∠B₁CF₁=90⁰

∴ BD₁⊥B₁C

法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。

如图，分别取BC、BB₁、B₁D₁的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ

则 MP∥B₁C，MQ∥BD₁

∴ ∠PMQ(或其补角)就是异面直线BD₁与B₁C所成的角

△　　　　　　　 PMQ中，MP=B₁C=

△　　　　　　　 MQBD₁=，PQ=

利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果

574. 空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？

解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。

其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。

因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。

最后注意到，PM与QN也是异面直线。

∴ 图中共有3+4+4+1=12(对)异面直线

573. 四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，(1)求点V到CD的距离；(2)求点V到BD的距离；(3)作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；(4)求异面直线BD与VC间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 (3)只需证OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 (4)求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

572. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 点A₁在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD为A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C为矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中点E，连A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_侧=396

571. 正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm²，求棱锥的底面边长和斜高。

解析：设底面边长为a，斜高为h’

则

∴ 或

590. 空间四边形ABCD中，P、Q、R分别AB、AD、CD 的中点，平面PQR交BC于S , 求证：四边形PQRS为平行四边形。

　证明：∵PQ为AB、AD中点　 ∴PQ‖BD

　又PQ平面BCD ，BD平面BCD　 　∴　 PQ‖平面BCD

　又平面PQR∩平面BCD＝RS , PQ平面RQR 　∴　 PQ‖RS

　∵R为DC中点,∴ S为BC中点,∴PQ　　 RS　 ∴ PQRS 为平行四边形

评述:灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行 线面平行”是证平行关系的常用方法。

变式题：如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．求证：AB∥平面EFG．

证明　∵面EFGH是截面．∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．∴EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．又　 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB．

∴AB∥面EFG．

589. 已知直线a∥b，c∩a=A，c∩b=B。求证：a、b、c在同一平面内。

证明：∵a∥b

　　　 ∴经过a、b可确定一个平面α

　　　 ∵c∩a=A，∴A∈a，而aα

　　　 ∴A∈α，同理B∈α

　　　 则ABα，即c α

　　　 ∴a、b、c在同一平面α内

点评：利用a∥b，可确定平面α，易证c α。若利用c∩a=A，也可确定平面α，但证bα就较困难。因此，选择恰当的点或线确定平面是非常重要的。