3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.

①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则

　　　　　　　　 sinα=cos = ，

α+=90°　

　　　　　　　　 cosα=sin = .

②圆台　 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。

③球的截面

用一个平面去截一个球，截面是圆面.

(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；

(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；

(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：

r=.

2．直角四面体的性质　 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：

如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。

则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；

②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③体积　　 V=abc；

④底面△_ABC=；

⑤S²_△ABC=S_△BHC·S_△ABC；

⑥S²_△BOC=S²_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC

⑦=++;

⑧外切球半径　　 R=；

⑨内切球半径　 r=

1．正四面体的性质　 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

(1)全面积：S_全=a²；

(2)体积：V=a³；

(3)对棱中点连线段的长：d=a；

(4)内切球半径：r=a；

(5)外接球半径　　　 R=a；

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。

即l²=16

所以l=4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。

(1)求证：顶点A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

(2)求这个平行六面体的体积

图1　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　图2

解析：(1)如图2，连结A₁O，则A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A₁M，A₁N。由三垂线定得得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD。∵∠A₁AM=∠A₁AN，

∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA,∴A₁M=A₁N，

从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。

(2)∵AM=AA₁cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，

∴A₁O=，平行六面体的体积为。

题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是(　　 )

A．2　 　　　　　　 　B．3　 　　　　　　　　　 　　C．6　　 　　　　　　　　　　 　D．

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素-棱长。

例4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB₁C₁将三棱柱分成体积为V₁、V₂的两部分，那么V₁∶V₂= ____　　 _。

解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V₁+V₂＝Sh。

∵E、F分别为AB、AC的中点，

∴S_△AEF=S,

V₁=h(S+S+)=Sh

V₂=Sh-V₁=Sh，

∴V₁∶V₂=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可

题型3：锥体的体积和表面积

例5． 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　　　 ).

A.　　　 B. 　　　　　　C. 　　　　　D.

[解析]:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面

边长为，高为，所以体积为

所以该几何体的体积为.

答案:C

[命题立意]:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地

计算出.几何体的体积.

(2009四川卷文)如图，已知六棱锥的底面是正六边形，

则下列结论正确的是

　 A.

　 B.

　 C. 直线∥

　 D. 直线所成的角为45°

[答案]D

[解析]∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立。在中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确

(2009全国卷Ⅱ文)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于　　 ×　　　　

　 答案：8π

解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由

例61.(2009年广东卷文)(本小题满分13分)

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

(2)求该安全标识墩的体积

(3)证明:直线BD平面PEG

[解析](1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　(2)该安全标识墩的体积为：

　　(3)如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.

　　　　　 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,　

　　　　　 又　 平面PEG

　　　　　 又　　 平面PEG

例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？

解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。

　　 。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。

由，得·

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8．2009年上海卷理)已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________.　

[答案]

[解析]，，同理：，即R₁＝，R₂＝，R₃＝，由得

例9．(2009安徽卷文)(本小题满分13分)

如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，

(Ⅰ)证明：直线垂直且平分线段AD

(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面

体ABCDEF的体积。

[思路]根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想

[解析](1)由于EA=ED且

点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.

又ABCD是四方形

线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线

即点EF都居线段AD的垂直平分线上

所以,直线EF垂直平分线段AD.

(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .

-ABCD

又-BCF=V_C－BEF=V_C－BEA=V_E－ABC

多面体ABCDEF的体积为V_E-ABCD+V_E-BCF=

例10．(1)(2009浙江卷理)如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点

作，为垂足．设，则的取值范围是　　　　　　 ．

答案：

　[解析]此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是

例11．3.(2009浙江卷文)若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则此几何体的体积是　　　　　 ．

[命题意图]此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．

[解析]该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18

例12．2009全国卷Ⅰ理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于　　 　　　。　

解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.　　

例13．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积

解：设截面圆心为，连结，设球半径为，

则，

在中，，

∴，

∴，

∴。

点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。

在三棱锥P-ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。

由正弦定理，得　 =2r,∴r=a。

又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=,(R－a)²=R² – (a)²，解得R=a,

∴S_球=4πR²=3πa²。

点评：本题也可用补形法求解。将P-ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略

题型9：球的面积、体积综合问题

例15．(1)表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。

(2)正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O₁是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O₁的体积。

解：(1)设球半径为，正四棱柱底面边长为，

则作轴截面如图，，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

(2)如图，设球O半径为R，球O₁的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O₁与平面ACD切于点H

由题设

∵　△AOF∽△AEG　　 ∴　，得

∵　△AO₁H∽△AOF　 ∴　 ，得

∴　

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等

题型10：球的经纬度、球面距离问题

例19．(1)我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？(地球半径大约为)

(2)在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离。

解：(1)如图，是北纬上一点，是它的半径，

∴，

设是北纬的纬线长，

∵，

∴

答：北纬纬线长约等于．

(2)解：设经过三点的截面为⊙，

设球心为，连结，则平面，

∵，

∴，

所以，球心到截面距离为．

例16．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为(为地球半径)，求两点间的球面距离

解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，

∴，∴，

∴，∴，

∴中，，

所以，两点的球面距离等于．

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离

(2009江苏卷)(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱中，_、分别是、的中点，点在上，_。

求证：(1)EF∥平面ABC；　

(2)平面平面.

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分

题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm²，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：　　　

由(2)²得：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=36(3)

2．旋转体的面积和体积公式

名称	圆柱	圆锥	圆台	球
S侧	2πrl	πrl	π(r1+r2)l
S全	2πr(l+r)	πr(l+r)	π(r1+r2)l+π(r21+r22)	4πR2
V	πr2h(即πr2l)	πr2h	πh(r21+r1r2+r22)	πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r₁、r₂分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径

1．多面体的面积和体积公式

名称	侧面积(S侧)	全面积(S全)	体 积(V)
棱 柱	棱柱	直截面周长×l	S侧+2S底	S底·h=S直截面·h
直棱柱	ch	S底·h
棱 锥	棱锥	各侧面积之和	S侧+S底	S底·h
正棱锥	ch′
棱 台	棱台	各侧面面积之和	S侧+S上底+S下底	h(S上底+S下底+)
正棱台	(c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2010年高考有以下特色：

(1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

(2)考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

4．注意数学中的转化思想的运用

(1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；

(2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；

(3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。