摘要：2．联想与解题 例5 a.b为两个不相等且都不为零的数.同时有 a2+pa+q=0.b2+pb+q=0. 分析与解 由已知条件.联想到方程根的定义.a.b是方程x2+px+q=0的两个根.由a.b不为零.有 例6 如果(z-x)2-4=0.求证: x+z=2y． 分析与解 (1)展开原式有 z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0. 合并.配方得 (x+z)2-4y(x+z)+4y2=0. 即 2=0. 所以 x+z＝2y． (2)如果看已知条件: (z-x)2-4=0. 很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式.因此.可联想到方程 (x-y)t2+＝0有二相等实根．由 =0 可知1是以上方程的根.再由根与系数关系知 所以 x+z=2y． 当x=y=0.即x=y时.有x=y=z.所以 x+z=2y． 例7 化简 分析与解 这是一个根式的化简问题.分子.分母大同小异.自然联想到应用因式分解.使分子.分母具有公因式.化简就很容易了． 例8 图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图 .其中“弦实 是弦平方的面积.“弦图 以弦为边作正方形.然后在“弦图 内部作四个直角三角形(如△AHB.△BEC.△CDF.△DAG)．设a.b.c为四个直角三角形的勾.股.弦.则根据“出入相补原理 就有 即 c2=2ab+b2-2ab+a2, 即 c2=a2+b2. 这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理 .也就是割补原理解决了许多数学问题.也创造了“勾股定理 的许多新证法．事实上每位初中同学.学了勾股定理.只要用心思考.一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例.便是同学们提出的割补图． 设a.b.c分别为直角三角形的勾.股.弦． (1)在图 2-117中.有 a2+b2＝(S3+S5)+(S1+S2+S4) ＝(S4+S5)+(S1+S2+S3) ＝2S2+S1+S3=c2． (2)在图 2-118中.有 a2+b2＝(S3+S4)+(S1+S2) =S1+S3+S4+S＇2+S5=c2 (3)在图2-119中.有 a2+b2＝(S2+S5)+(S1+S3+S4) =S1+S2+S3+S4+S5＝c2． (4)在图2-120中.有 a2+b2=(S＇2+S5)+(S1+S3+S4) =(S＇2+S4)+(S1+S3+S5) ＝S1+S2+S3+S5=c2． 练习二十

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