已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线．

(2)若点(x₀，y₀)在抛物线上，且0≤x₀≤4，试写出y₀的取值范围．

(3)设平行于y轴的直线x＝t交线段BM于点P(点P能与点M重合，不能与点B重合)交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S．

①求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围；

②求S取得最大值时点P的坐标；

③设四边形OBMC的面积为，试判断是否存在点P，使得S＝，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．