摘要：3．换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体.并用一个新的字母替代这个整体来运算.从而使运算过程简明清晰． 例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12． 分析 将原式展开.是关于x的四次多项式.分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体.并用字母y来替代.于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x2+x=y.则 原式=-12=y2+3y-10 ==(x2+x-2)(x2+x+5) =(x2+x+5)． 说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体.比如今x2+x+1=u.一样可以得到同样的结果.有兴趣的同学不妨试一试． 例7 分解因式: (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90． 分析 先将两个括号内的多项式分解因式.然后再重新组合． 解 原式=-90 =[]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90． 令y=2x2+5x+2.则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 = =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)． 说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础． 例8 分解因式: (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解 设x2+4x+8=y.则 原式=y2+3xy+2x2= =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x2+5x+8)． 说明 由本题可知.用换元法分解因式时.不必将原式中的元都用新元代换.根据题目需要.引入必要的新元.原式中的变元和新变元可以一起变形.换元法的本质是简化多项式． 例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6． 解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2 =6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2 =6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2 =6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2 =[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =． 说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体.但并没有设立新元来代替它.即熟练使用换元法后.并非每题都要设置新元来代替整体． 解法2 原式=x2[6(t2+2)+7t-36] =x2(6t2+7t-24)=x2 =x2[2+8] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =． 例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)． 分析 本题含有两个字母.且当互换这两个字母的位置时.多项式保持不变.这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式.经常令u=x+y.v=xy.用换元法分解因式． 解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u.xy=v.则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2． 练习一

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