摘要：2．拆项.添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时.整理.化简常将几个同类项合并为一项.或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时.需要恢复那些被合并或相互抵消的项.即把多项式中的某一项拆成两项或多项.或者在多项式中添上两个仅符合相反的项.前者称为拆项.后者称为添项．拆项.添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例4 分解因式:x3-9x+8． 分析 本题解法很多.这里只介绍运用拆项.添项法分解的几种解法.注意一下拆项.添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+ =x =(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2 =(x-1)(x2+x-8)． 说明 由此题可以看出.用拆项.添项的方法分解因式时.要拆哪些项.添什么项并无一定之规.主要的是要依靠对题目特点的观察.灵活变换.因此拆项.添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 例5 分解因式: (1)x9+x6+x3-3, (2)(m2-1)(n2-1)+4mn, 4+(x2-1)2+(x-1)4, (4)a3b-ab3+a2+b2+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =2-(m-n)2 =． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2． 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2 =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab+(ab+b2+1) =a+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)． 说明 (4)是一道较难的题目.由于分解后的因式结构较复杂.所以不易想到添加+ab-ab.而且添加项后分成的三项组又无公因式.而是先将前两组分解.再与第三组结合.找到公因式．这道题目使我们体会到拆项.添项法的极强技巧所在.同学们需多做练习.积累经验．

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