摘要：有A.B.C.D.E五个队分在同一个小组进行单循环赛篮球比赛.争夺出线权.比赛规则规定,胜一场得3分.平一场得1分,负一场得0分.小组中名次在前的两个队出线.小组赛结束后.A队的积分为9分. (1)A队的战绩是几胜几负几平? (2)如果小组中有一个队的战绩为全胜.A队能否出线? (3)如果小组中有一个队的积分为10分.A队能否出线? (4)如果小组中积分最高的队积9分.A队能否出线? 解:因为这五个队进行单循环比赛.每队都比赛4场.所以总场数为×5×4=10(场). 根据比赛的规则,得每场结果分出胜负.两队得分和为3分,每场结果为平局的比赛.每队各得1分.两队得分和为2分.因此.这10场比赛若都分出胜负.则各队积分总和最大为30分;若都赛成平局.则各队积分总和最小为20分. (1)设A队胜X场.平Y场.则负场. ∴3X+Y+0×=9, 即3X+Y=9, ∴Y=9-3X. ∵0≤X≤4, ∴当整数X=0,1,2,3,4时,Y=9,6,3,0,-3. 又∵0≤Y≤4且0≤X+Y≤4, ∴ 即A队积9分时,胜3场,负1场. (2)若有一队战绩为全胜.则不妨设这个队为B队.这时.B队胜4场.积12分.它名列小组第一.A队能否出线取决于C.D.E三队中是否有积分多于或等于9分的队. 又∵10场比赛积分最大为30分.去掉A.B两队的积分.C.D.E三队共积9分. ∴C.D.E三队积分都小于9分.所以?A队一定出线. (3)如果小组中有一队积分为10分.不妨设为B队, 设B队胜X场.平Y场.则负场. ∴3X+Y+0×=10. ∴Y=10-3X. ∴0≤X≤4. ∴当整数X=0,1,2,3,4时,Y=10,7,4,1,-2. 又∵0≤Y≤4且0≤X+Y≤4, ∴ ∴B队胜3场,平1场. ∵A队积9分,胜3场, 不妨设A队胜C.D.E队.负给B队. 又∵B队胜3场平1场, ∴不妨设B队又胜D.E队.于是C队平. 则这时已比赛7场.还有3场,即C--D.C--E.D--E,这3场比赛中无论哪个队.最多积分为6分小于A的积分. ∴A队一定出线且为第二名. (4)如果小组中积分最高的队积9分,则这五个队中可能有M个队得9分. ∴20≤9M≤30,即≤M≤3. ∴正整数M=3, 即有3个队都可能为9分.即都可能胜3场负1场. 由规则知.只取前两名且获胜场数相等时据进球分数排名.由此可知.A队不一定出线.

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