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下列说法中,正确的是
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A.射线比线段长的多.
B.线段是直线的一段,所以不一定是直线的一部分.
C.如图,A、B是直线MN上的两个点,则A、B把直线分成三部分,即射线AM,BN和线段AB.
D.两条直线重合,有无数个公共点.
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(1)求出角∠AME的度数;
(2)你能在小明的思路下证明结论吗?
(3)小颖提出:如图3,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
阅读探究题:
数学课上,张老师向大家介绍了等腰三角形的基本知识:有两条边相等的三角形叫等腰三角形,如图1所示:在△ABC中,若AB=AC,则△ABC为等腰三角形且有∠B=∠C.此时,张老师出示了问题:如图2,四边形ABCD是正方形(正方形的四边相等,四个角都是直角),点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:在线段AB上取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,在此基础上,请聪明的同学们作进一步的研究:
(1)求出角∠AME的度数;
(2)你能在小明的思路下证明结论吗?
(3)小颖提出:如图3,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;![]()
)如图1,Rt△ABC中AB = AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD = EC,AM⊥BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F。试判断△DEF的形状,并加以证明。
说明:⑴如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写
3步);⑵在你经历说明⑴的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。
注意:选取①完成证明得
10分;选取②完成证明得5分。①画出将△
BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;②点
K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2)。附加题:如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形状,并说明理由。
(1)探究1:小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:
证明:如图1,取AB的中点M,连接EM.
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC(ASA)
∴AE=EF
(2)探究2:小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论.
(3)探究3:小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.
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